Przyporządkowanie

W szkole dowiadujemy się, że funkcja to przyporządkowanie. Jest to jak najbardziej prawda, więc zacznimy od tego podejścia, a potem przedstawię nieco inny kąt widzenia. Aby funkcja była funkcją, każdemu elemntowi z jednego zbioru (x) musimy przyporządkować dokładnie jeden element z drugiego zbioru (y).

Na przykład?

• Każdemu człowiekowi można przyporządkować dokładnie jedną liczbę, oznaczającą jego wzrost w centymetrach.
• Każdej książce można przyporządkować dokładnie jedną liczbę jej stron.
• Każdemu prostokątowi można przyporządkować jego pole powierzchni.
• Każdej liczbie można przyporządkować liczbę o 2 od niej większą.

Weźmy teraz ten ostatni przykład, bo jest najbardziej matematyczny. Takie przyporządkowanie można częściowo przedstawić w formie tabelki.

Bardzo to wygodne, ale na chwilę zapomnijmy jakiego zdania ta tabela dotyczy. Patrząc na samą tylko tabelę nie jesteśmy w stanie powiedzieć jaką liczbę y przypisujemy liczbie x spoza tabeli. A może nie ma żadnych innych liczb x? Na podstawie samej tabeli nie możemy tego jednoznacznie określić. Gdybyśmy chcieli pokazać w tabelce wszystkie możliwości, musiałaby ona mieć nieskończenie wiele kolumn. Znacznie lepszym rozwiązaniem jest użycie wzoru.

Zdanie “Każdej liczbie można przyporządkować liczbę o 2 od niej większą” możemy zapisać w formie:

I to jest coś co chcę wytłumaczyć w nieco inny sposób.

Funkcja jest programem komputerowym

Otóż to. Jest bardzo prostym miniprogramem komputerowym. Podajesz temu programowi jakąś wartość, on ją w jakiś określony sposób przelicza i na końcu podaje wynik.

Jestem programem, który do dowolnej liczby rzeczywistej dodaje 2.

Podaj dowolną liczbę rzeczywistą i naciśnij Enter:

Zwrócony wynik:

Dokładnie tak działa wzór funkcji.

• f to nazwa funkcji. Bardzo często nazywa się funkcje literą f, ale może to być cokolwiek. Jeśli mamy więcej funkcji, to warto oznaczyć każdą inaczej aby móc je łatwo rozróżnić.
• Do tej funkcji wrzucasz jakąś liczbę, tak samo jak do pola w powyższym “programie”. W tym wypadku może to być dowolna liczba rzeczywista. Poeksperymentuj z liczbami dodatnimi, ujemnymi i ułamkami (użyj kropki zamiast przecinka). Ta liczba oznaczona jest literą x. I znowu, zazwyczaj będzie to liczba x bo po prostu tak się przyjęło i każdy od razu wie o co chodzi, ale w rzeczywistości może to być dowolna inna litera.
• po znaku = mamy informację co ta funkcja (ten program) zrobi z naszą liczbą. W tym wypadku do naszej liczby x zostanie dodane 2.

Wrzućmy teraz jakieś liczby do funkcji f:

f(3) = 3 + 2 = 5 <– Jeśli użyjemy liczby 3 to zwrócona zostanie liczba 5, tak jak w “programie”

f(-34) = -34 + 2 = -32

f(7.5) = 7.5 + 2 = 9.5

Argumenty i wartości

Liczba x którą wrzucasz do funkcji nazywana jest argumentem, a liczba którą otrzymujesz to wartość. Tak jak argumenty zwykle oznaczane są literą x, tak wartości zazwyczaj będą oznaczone literą y.

Dziedzina

Została jeszcze jedna ważna sprawa. Definiując wzór funkcji musimy bardzo jasno określić jakie argumenty można do takiej funkcji włożyć. Wróć na moment do mojego “programu” i spróbuj w polu tekstowym wpisać jakiś tekst, na przykład literę “a”. Jaką liczbę otrzymujesz? Żadną! Argument x musi być liczbą rzeczywistą, opis programu jasno to określił. Tak samo przy wzorze powinniśmy napisać, że x należy do zbioru liczb rzeczywistych. Zbiór wszystkich możliwych argumentów to dziedzina funkcji.

Spójrzmy jeszcze na inny przykład: “Każdej liczbie x za wyjątkiem zera przyporządkowujemy wartość y, która jest wynikiem dzielenia 15 : x.”

Tutaj do dziedziny funkcji należą wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem 0. Zero nie może należeć do dziedziny, bo nie wolno dzielić przez 0.

To jeszcze jeden: “Każdej liczbie x ze zbioru {2, 3, 5, 6} przyporządkowujemy liczbę 3 razy od niej większą”

Tutaj argumentem mogłaby być dowolna liczba rzeczywista, ale z jakiegoś powodu ograniczyliśmy dziedzinę tylko do czterech konkretnych liczb. Tak też można. Mamy więc tutaj cztery argumenty: 2, 3, 5, 6 oraz cztery wartości:

f(2) = 6

f(3) = 9

f(5) = 15

f(6) = 18

The end

Gratuluję jeśli udało Ci się doczytać do końca 😁 Mam nadzieję, że dzięki temu wpisowi lepiej rozumiesz czym jest funkcja i jak działa jej wzór.